Ковязин Е.И.

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ 
ПО НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И КОСМОНАВТИКЕ
(10-11 классы, 2005 год)

 (взято с сайта В.И.Елькина  - http://elkin52.narod.ru/astron.htm )

Вам предлагается ряд задач, различной степени трудности. Совершенно не обязательно  решить их все. Более того, их количество и степень сложности некоторых из них таковы, что справиться со всеми задачами за два часа очень трудно. Правильное решение каждой задачи оценивается определённым числом баллов -- оно проставлено в конце условий задачи к заключено в скобки. Задача считается решённой, если получен правильный ответ. Некоторые задачи качественные, они не требуют вычислений. Если в решении присутствуют ошибки или неточности, оно может быть оценено меньшим числом баллов. 

1. Рассчитайте силу притяжения между Землёй и Луной, а также ускорение, которое приобретает Луна под действием этой силы. Масса Земли 5,97*1024кг, масса Луны   в  81,6  раза   меньше.   Расстояние  до  Луны  384  тыс.  км,   постоянная  тяготения 
6,67*10-11. (до 5 баллов).  
2. Комета 1986 года двигалась по орбите с большой полуосью 35,4 астрономической единицы. В каком году наблюдалось её предыдущее прохождение? (до 4 баллов). 
3. До какой высоты над поверхностью Земли поднимется геодезическая ракета, запущенная вертикально с первой космической скоростью? (до 8 баллов).     
4. Может ли камень, начавший падать на Землю со сколь угодно большой высоты с начальной нулевой скоростью, удариться об её поверхность со скоростью большей, чем, например, 20 км/с? Сопротивлением   атмосферы  Земли  пренебречь. Ответ обоснуйте. (до 8 баллов). 
5.   Рассчитайте массу Земли, зная, что Луна обращается вокруг неё на среднем расстоянии 384 тыс. км, делая полный оборот за 27,35  суток. Постоянная тяготения равняется 6,67* 10-11 . (до 5 баллов). 
6. Что потребует больших энергетических затрат - запустить космический аппарат к Солнцу или к звёздам? Ответ обоснуйте. (до 10 баллов). Для справок: скорость движения Земли по орбите около  30  км/с,  2-ая  космическая  скорость около 11,2 км/с.   
7.   До какого радиуса нужно сжать Солнце, чтобы оно стало  чёрной дырой?  Масса  Солнца  2*1030 кг, постоянная тяготения 6,67*10-11, скорость света 3*108м/с. 
8. Предположим, что Земля остановилась в своём орбитальном движении вокруг Солнца. Как долго она на него будет падать? Радиусом Солнца пренебречь. Радиус  орбиты  Земли – одна астрономическая единица. Период обращения Земли вокруг Солнца равен 1 году. (до 6 баллов).      
9. Какова   длительность    марсианского    года,    если средний     радиус     его орбиты равен 1,52 а.е. (астрономической единицы). (до 4 баллов). 
10. 21 марта Марс находился в противостоянии Солнцу и был виден в течение всей ночи. Можно ли будет наблюдать его 21 сентября, и если можно, то в какое время суток (утром, вечером, всю ночь). Ответ обоснуйте с помощью расчётов и рисунка (до 10 баллов). 

11. Как изменилась бы орбита  Земли, если бы: 
а)  Масса Земли  неожиданно возросла в два раза? 
б) Масса Солнца неожиданно уменьшилась в два раза? Ответ подтвердите расчетами. (до 5 баллов). 
12. При взрыве 1 кг. тротила выделяется 4,2 МДж энергии. Рассчитайте в тротиловом эквиваленте количество энергии, которое выделилось при столкновении 22 осколков кометы Шумейкера-Леви с Юпитером, если их средний поперечник около 5км, а средняя плотность около 1 т/м3 . Скорость столкновения 65 км/с, (до 5 баллов). 
13. Космический аппарат массой 1 т и силой тяги его двигательной установки 10 кН вращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте 500 км, причём плоскость его орбиты образует с плоскостью земного экватора угол 20 градусов. Его нужно перевести на аналогичную круговую орбиту, но плоскость которой должна образовывать с экватором Земли угол 30 градусов. В какой точке орбиты, при какой ориентации корабля и на какое время нужно включить его двигательную установку для совершения такого маневра. Масса Земли 5,98*1024 кг, радиус Земли 6378 км, постоянная тяготения 6,67*10-11 (до 10 баллов).
14. Где находится центр масс системы Земля-Луна, если известно, что радиус Земли 6378 км, радиус орбиты Луны 384 тыс. км, её масса в 81,36 раза меньше массы Земли (до 6 баллов).
15.С какой скоростью войдет в атмосферу Земли камень, который начал подать с нулевой начальной скоростью с орбиты Луны. Радиус орбиты Луны 384 тыс. км, масса Земли 5,98* 1024 кг, постоянная тяготения 6,67*10-11 (си) (до 10 баллов).
16. Космический корабль запускают к Марсу по оптимальной орбите (половина эллипса, касающегося орбит обеих планет). Задав произвольное положение Земли на орбите в момент старта, рассчитайте и отметьте на рисунке положение Марса на его орбите в этот момент.  Аналогично рассчитайте и отметьте положение Земли на её орбите в момент встречи корабля и Марса. Рассчитайте также длительность перелёта. (до 9 баллов).               
17. Космический корабль опустился на астероид диаметром 1 км и средней плотностью 2,5 т/м3 . У космонавтов есть вездеход. Смогут ли они объехать астероид по экватору за два часа, если скорость вездехода позволяет сделать это? (до 6 баллов).
18. До какой скорости ракета, стартующая с космодрома, расположенного на экваторе Земли, должна разогнать спутник на высоте 200 км, чтобы он стал двигаться по круговой орбите в направлении вращения Земли. Масса Земли 5,98*1024 кг, радиус Земли 6378 км, постоянная тяготения 6,67*10-11. Земля делает полный оборот вокруг оси за 23 часа 56 мин. Рассчитайте то же самое для космодрома Плесецк, широту которого будем считать равной 65 градусам. (до 9 баллов).
19. Комета Галлея делает полный оборот вокруг Солнца за 76 лет. В ближайшей к Солнцу точке своей орбиты, находясь от него на расстоянии 0,6 астрономической единицы, она двигается со скоростью 54 км/с. С какой скоростью она двигается в наиболее удалённой от Солнца точке своей орбиты? (до 6 баллов).
20. Если наши «братья по разуму» умеют измерять лучевую скорость Солнца с точностью до 10 м/с, то смогут ли они установить наличие у Солнца такой планеты как Юпитер, масса которого в 1000 раз меньше массы Солнца, а радиус его орбиты 5,2 астрономической единицы (а.е.). Одна а.е. равняется 149,6*109 м. Постоянная тяготения равна 6,67*10-11. Будем считать, что плоскость орбиты Юпитера проходит через их планету. (до 10 баллов).